Таким образом, в работе Навье с самого начала используется гипотеза о сплошности жидкой среды и предположение о непрерывности деформирования частицы жидкости. Навье вводит в рассмотрение разность векторов скоростей в двух соседних точках и устанавливает выражение для скорости абсолютного удлинения элементарного прямолинейного отрезка, соединяющего две соседние частицы. Таким образом, если у Ньютона при формулировании гипотезы о вязкости по существу речь шла о деформации простого сдвига частицы жидкости, то у Навье речь идет уже о деформации удлинения отрезка произвольного направления. В своих дальнейших рассуждениях Навье использует следующую гипотезу: дополнительная к давлению сила взаимодействия между двумя соседними частицами жидкости прямо пропорциональна скорости абсолютного удлинения расстояния между ними. Коэффициент пропорциональности считается зависящим от расстояния так, что при удалении частиц друг от друга он должен стремиться к нулю, а при приближении этот коэффициент должен стремиться к конечному значению, отличному от нуля. Под дополнительной силой в своей гипотезе Навье понимал силу, приходящуюся на единицу объёма одной фиксированной частицы со стороны единицы объёма второй фиксированной частицы. По этой причине гипотеза Навье формально не совпадает с принимаемой в настоящее время обобщённой гипотезой Ньютона для вязкой несжимаемой жидкости, но по своему содержанию она всё же близка к ней. Чтобы оценить суммарное воздействие всех окружающих частиц жидкости на одну фиксированную частицу с единичным объёмом, Навье подсчитывает сумму всех элементарных работ рассматриваемых сил воздействия со стороны всех окружающих частиц жидкости на том элементарном перемещении, которое представляется вариацией абсолютной скорости удлинения. Суммирование этих элементарных работ проводится с помощью интегрирования по объёму всего пространства при использовании сферических координат с началом в фиксированной точке. При выполнении вычислений вводится следующее обозначение:
, где f(r) представляет собой коэффициент пропорциональности в указанной выше гипотезе Навье. Далее, с помощью принципа возможных скоростей Навье получает дифференциальные уравнения движения вязкой несжимаемой жидкости в том именно виде, в котором они используются и по настоящее время. В этих уравнениях коэффициент ε совпадает с коэффициентом вязкости μ. Аналогичным путём вводится коэффициент внешнего трения и формулируется граничное условие на стенке в виде равенства сил внешнего и внутреннего трения.
1 JCauchy , Sur Ies 6quations, qui expriment Ies conditions d'equilibre, ou Ies Iois du mouvement interieur d'un corps solide, elastique ou non elastique, Exercices de Mathematique par Cauchy, Ill-e Annee, 1828.
2) S a i n t-V e n a n t, Note a joindre au memoire sur la dynamique des flui des, Comptes Rendus des Seances de L'Acad. des Sc., т. 17, 1843.
1) Poiseuille , Comptes Rendus de L'Ac. des Sc., т. И, 1840 (стр. 961-967); т. И (стр. 1041-1048); т. 12, 1841 (стр. 112-115).
2 ) Poiseuille , Recherches experimentales sur Ie mouvement des liquides dans Ies tubes de thes - petit diametres, M6moires de L'Acad. Royale des Sc. d e L'Institut de France, т. 9, Paris, 1846, стр. 433-536.
*) Stokes , On the theories of the internal friction of fluids in motion and of the equilibrium and motion of elastic solids, Trans, of the Cambr. Philos. Society, т. VIII. 1844-1849, стр. 287--319,
1J Stokes , Report on regent researches in hydrodynamics, Report of the Britisch Association for 1846, P. I.